komplexe Zahlen

komplexe Zahlen,

 

die reellen Zahlen (rationale Zahlen), erweitert um alle Zahlen, die sich als Wurzeln aus negativen reellen Zahlen darstellen lassen.

 

Das Wurzelziehen aus negativen reellen Zahlen ist gemäß der Schulmathematik nicht erlaubt. Demnach haben Gleichungen wie x² = -1 keine Lösung. Fügt man jedoch das Symbol i = √-1 als formale Lösung obiger Gleichung und alle Produkte von i und einer beliebigen reellen Zahl zu den reellen Zahlen hinzu, lassen sich erweiterte, mit den alten Regeln harmonierende Rechenregeln definieren, welche den neuen Elementen alle Eigenschaften von Zahlen geben. Als komplexe Zahlen bezeichnet man nun alle Zahlen der Form a + ib, wobei a und b reelle Zahlen sind. Mit ihnen lassen sich sämtliche Wurzeln aus negativen reellen Zahlen darstellen. Mit der Einführung der komplexen Zahlen ist die Erweiterung des Zahlenbereichs der reellen Zahlen abgeschlossen, da die Lösungen aller Gleichungen mit Potenzen und Wurzeln vollständig durch die komplexen Zahlen ausgedrückt werden können.

 

Eine wichtige Rolle spielen die komplexen Zahlen bei der Lösung von Gleichungen sowie bei der Darstellung von Kreisbewegungen, Schwingungen und Wellen. Grundlage des zweiten Anwendungsbereichs ist eine Verbindung der komplexen Zahlen mit den Winkelfunktionen (Trigonometrie), die sich wie folgt veranschaulichen lässt: Eine komplexe Zahl a + ib stellt sich in einem zweidimensionalen Koordinatensystem als Pfeil vom Ursprung zum Punkt mit den Koordinaten a und b dar, der den Winkel alpha zur horizontalen Achse einschließt. Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen mit den Winkeln alpha und beta ergibt nach den Rechenregeln der komplexen Multiplikation eine komplexe Zahl mit dem Winkel alpha + beta (Abb.). Durch fortgesetzte Multiplikation von geeigneten komplexen Zahlen lässt sich nun ein Rotieren des resultierenden Pfeils erreichen, und die Projektion des Pfeils auf die horizontale Achse liefert den Sinus (Trigonometrie) der Pfeillänge.